| تبليغات | X |
 |
رياضياتوب نوشته های رضا سامی درباره ریاضیات . |
 |
آرشیو مطالب |
 |
تماس با مدیریت وبلاگ |
|
صفحه نخست |
 |
 «رياضيات علم نظم است و موضوع آن يافتن، توصيف و درك نظمي است كه در وضعيتهاي ظاهرا پيچيده نهفته است و ابزارهاي اصولي اين علم ، مفاهيمي هستند كه ما را قادر ميسازند تا اين نظم را توصيف كنيم» .
دكتر ديبايي استاد رياضي دانشگاه
RSS طراح قالب |
كاش مختصات كردارمان روي ربع اول همان طور مي ماند و به سمت ربع هاي ديگر نمي رفتيم . كاش تابع تمامي اعمال خوبمان اكيدا صعودي باشد تا به مقصد برسيم . كاش تابع گناهانمان نزولي باشد تا در يك جايي بالاخره پايان پذيرد . كاش لااقل تابع گناهانمان اين قدر پيوسته نباشد و حد اشتباهاتمان به بي نهايت ميل نكند. كاش از سخن هاي بيهوده و اعمال مكروهه كه فراوان هم هستند جذر مي گرفتيم. كاش دنيا با تمام دلخوشي هايش در نظرمان نقطه اي تو خالي باشد و بس. كاش انتگرال هاي بي حرمتي هايمان در محضر دوست، توبه باشد. كاش بتوانيم اعمال نيك و بسيار اندكمان را به توان برسانيم تا به حساب آيند. كاش آهنگ رو به افزايش حجم روز مرگي ها، به ما فرصت فكر كردن به خود را بدهد . كاش راه راست را انتخاب كنيم ، كه اگر نكنيم يا به هدف نمي رسيم و يا ديرتر ميرسيم. كاش لگاريتم كليه اعمالمان در مبناي رضاي خدا برود تا مقبول درگاهش واقع شود. كاش لحظه هاي خوب مناجات را يك جا مي شد جمع كرد تا از دستشان ندهيم و فراموششان نكنيم. كاش ...
Russell Bertrand) راسل برتراند فیلسوف و ریاضیدان انگلیسی(1872-1970) است که از جمله افراد روشنفکر و متفکر عصر خود بود. او برای جلوگیری از آزار زنان و حق تحصیل آنها مبارزات زیادی انجام داده است. همچنین او برنده جایزه نوبل در ادبیات شده است و یک ریاضیدان برجسته بود.او معتقد بود ریاضیات از منطق قابل تفکیک نمی باشد و به این دلیل فکر مدرسه منطق را بنیان گذاشت. او به همراه آلفرد وایتهد تلاش کرد سیستمی را در منطق ابداع کند که ریاضیات مبتنی بر آن باشد. نتیجه این تلاش کتابی به عنوان Principal Mathematics در سه جلد شد. اگر چه بعدها گیودل نشان داد که چنین تلاشهایی محکوم به فنا است و چنین سیستمهای منطقی کار آمد نخواهند بود. نامه ای که راسل به همکار خود فریج فرستاده است بسیار مشهور است او این نامه را در بهار سال 1901 هنگامی که فریج روی اثر خود یعنی اصول ریاضیات کار می کرد فرستاد که در آن نامه پارادکسی را مطرح کرد که بعدها به نام پارادکس راسل شناخته شد و میتوان گفت از مشهور ترین پارادکس های تاریخ ریاضیات است. پارادوکس او چنین بود: آیا مجموعه همه مجموعه هایی که عضو خودشان نمی باشند عضوی از خودش است یا نه؟! به عبارت دیگر مجموعهی R را مشتمل بر همهی مجموعههائی در نظر بگیرید که عضو خودشان نیستند.یعنی:  حال آیا R عضوی از خودش است یا خیر؟ 1-اگر R عضوی از خودش باشد، پس واجد شرایط اعضای R است، یعنی عضو خودش نیست! 2-اگر R عضوی از خودش نباشد، پس واجد شرایط اعضای R نیست، یعنی عضو خودش است!! اینجا نیز روشن نیست که در نهایت این مجموعه (یعنی R) عضو خودش هست یا خیر؟ صورتهای گوناگونی از این پارادکس وجود دارد به عنوان مثال یک شکل ساده آن به این صورت است: «فرض کنید که در یک شهر آرایشگری وجود دارد که فقط و فقط سر کسانی را اصلاح میکند که خودشان سر خود را اصلاح نمیکنند، به علاوه هر کسی که خودش سر خود را اصلاح نمیکند، سرش را پیش این آرایشگر اصلاح میکند! حال به عقیدهی شما این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح می کند یا خیر؟ پاسخ بسیار حیرت انگیز است: اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح نکند، پس در زمرهی افرادی که سر خودشان را خود اصلاح نمیکنند قرار دارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح میکند! اگر این آرایشگر سر خودش را خود اصلاح کند، پس در زمرهی افرادی که سر خودشان را اصلاح نمی کنند قرار ندارد، و در نتیجه سر خودش را اصلاح نمی کند! و در حقیقت روشن نیست که در نهایت این آرایشگر با سر خود چه میکند! اصلاحش می کند یا خیر؟ شاید بتوان گفت این پارادکس مشهور ترین پارادکس تاریخ ریاضیات است. این پارادکس منجر به تحولات بسیار زیادی در منطق ریاضیات و فلسفه (ریاضی و غیر آن) شد. یکی از مهمترین این تحولات تغییر نگرش ریاضیدانان نسبت به مفهموم مجموعه بود، چرا که راسل نشان داد علت مواجه با این پارادکس، تعریف ناسازگاری است، که از مفهوم مجموعه در ذهن ریاضیدانان وجود دارد
گروه سه نفر رياضي دانان هندي براي غلبه بر مشكل به هر دري زدند و با بررسي مقالات مختلف بالاخره دريافتند كه در سال ۱۹۸۵يك رياضيدان فرانسوي به نام اتن فووري از دانشگاه پاريس ۱۱اين نكته را به صورت رياضي اثبات كرده است. به اين ترتيب آخرين بخش معما حل شد و آلگوريتم پيشنهادي اين سه نفر با موفقيت پا به عرصه گذارد. اما اين موفقيت "مشروط" بود. به اين معني كه اين روش براي اعداد اولي كه انسان در حال حاضر ميتوان به سراغ آنها برود از كارآيي چنداني برخوردار نيست. در روايت اوليه روش پيشنهادي، زمان لازم براي محاسبات كه متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ۱۰۱۲ازدياد پيدا مي كرد. در روايتهاي بهبود يافته اخير اين روش، سرعت ازدياد زمان لازم براي محاسبات به ۱۰۷.۵كاهش يافته اما حتي در اين حالت نيز اين روش در مقايسه با روش آ پي آر تنها در هنگامي موثر تر خواهد بود كه تعداد ارقام عدد اولي كه قصد شكار و يافتن آن را داريم در حدود ۱۰۱۰۰۰باشد. اعدادي تا اين اندازه بزرگ در حافظه هيچ كامپيوتر جاي نميگيرند و حتي آن را نميتوان در كل كيهان جاي داد. اما حال كه رياضي دانان توانستهاند يك طبقه خاص از آلگوريتمهاي تواني را براي شناسايي اعداد اول مشخص كنند، اين امكان پديد آمده كه به دنبال نمونههاي بهتر اين روش بگردند. پومرانس و هندريك لنسترا از دانشگاه كاليفرنيا در بركلي با تلاش در همين زمينه توانستهاند زمان لازم براي محاسبات را از توان ۷.۵به توان ۶كاهش دهند. اين دو از همان استراتژي كلي گروه هندي موسسه كانپور استفاده كردند اما تاكتيهاي ديگري را به كار گرفتند. اگر فرضيههاي ديگري كه درباره اعداد اول مطرح شده درست از كار درآيد آنگاه ميتوان زمان محاسبه را از توان ۶به توان ۳تقليل داد كه در اين حد اين روش كارآيي عملي پيدا خواهد كرد. در اين حالت يافتن اعداد اول با ۱۰۰۰رقم يا بيشتر به بازي كودكان بدل خواهد شد. اما در نظر رياضيدانان مهمترين و جالبترين جنبه كار گروه سه نفره آ ك اس (كانپ.ر) روشي است كه آنان به كار گرفتهاند. اعداد اول براي رياضيات از اهميت بنيادين برخوردارند و هر نوع غفلت در فهم ويژگيهاي آنها باعث ميشود خللهاي بزرگ در بناي رياضيات پديدار شود. روش اين سه رياضي دان هندي هرچند اين خللها و نقصها را پر نكرده حداقل به رياضي دانان گفته است كه در كجا به دنبال اين خللها بگردند. آلگوريتم پيشنهادي اين سه محقق و همه انواع بديلي كه بر اساس آن ساخته شده متكي به وجود اعداد اولي با مشخصه هاي ويژه هستند. و در اغلب موارد استفاده از اين روش مستلزم آن است كه رياضي دانان اطلاعات دقيقي از نحوه توزيع اين قبيل اعداد اول خاص در ميان ديگر اعداد به دست آورند و به اين ترتيب جغرافياي مكاني اعداد اول را مشخص سازند. روش پيشنهادي آ ك اس به رياضي دانان اين نكته را آموخته كه ويژگيهاي اين جغرافياي مكاني حائز اهميت است و نيز اين كه هنوز دانش كافي در اين زمينه به دست نيامده است. در گذشته و در زماني كه نظريه اعداد تنها مورد توجه يك گروه كوچك از رياضي دانان بود ، اين مساله چندان اهميتي نداشت. اما در ۲۰سال گذشته اعداد اول موقعيتي استثنايي در عرصه رمز نگاري و دانش طراحي و شكستن رمزها كسب كرده اند. رمزها صرفا از نظر نظامي و جاسوسي حائز اهميت نيستند بلكه از آنها در عرصه هاي تجاري و نيز فعالييتهاي اينترنتي در مقياس وسيع استفاده به عمل ميآيد. هيچ كس نميخواهد كه راهزنان اينترنتي به اطلاعات شخصي مربوط به حسابهاي بانكي يا شماره كارتهاي اعتباري آنان دست يابد. هم اكنون دزدي مشخصات شناسنامه اي افراد و جعل هويت آنان به صورت يكي از بزرگترين قلمروهاي فعالييتهاي تبهكارانه در سطح بينالمللي در آمده است. سازندگان كامپيوترها و ارائهدهندگان خدمات اينترنتي با توجه به آنكه در حال حاضر افراد بسياري از فعاليتهاي خود را از طريق اينترنت انجام مي دهند، نظير اينكه پول قبضهاي برق و آب و تلفن خود را ميپردازند يا در كلاسهاي مورد نظر ثبت نام ميكنند، يا بليت هواپيما و قطار رزرو ميكنند، در تلاشند تا از خطر دستيابي تبهكاران به اطلاعات شخصي افراد جلوگيري به عمل اورند. يكي از مهمترين سيستمهايي كه در اين زمينه مورد استفاده صنايع است سيستم آر اس آ نام دارد كه متكي به اعداد اول است. اعداد اول مورد استفاده در اين سيستم در حدود ۱۰۰رقمي هستند. سيستم آر اس آ در بسياري از سيستمهاي كامپيوتري مورد استفاده قرار دارد و در پروتكل اصلي براي ارتباطات امن اينرتنتي نيز گنجانده شده است و بسياري از دولتها، شركتهاي بزرگ و دانشگاهها از آن استفاده ميكنند. جواز استفاده از اين سيستم براي بيش از ۷۰۰شركت صادر شده و بيش از نيم ميليون كپي از آن در سطح جهاني مورد استفاده قرار دارد. براي شكستن رمز آر اس آ بايد مضراب اعداد ۲۰۰رقمي يا بزرگتر را پيدا كنيد. هرچند فاكتور گيري يا عامل مشترك گيري از اعداد سخت تر از آزمودن اول بودن آنهاست اما اين دو مساله با يكديگر ارتباط دارند و رياضي دانان از يك ابزار براي حل هر دو مساله استفاده ميكنند. همه اين جنبهها بر اهميت كشف هر روشي براي محاسبه اعداد اول ميافزايد. در سال ۱۹۹۵زماني كه پيتر شور از آزمايشگاههاي بل اثبات كرد كه مجموعه- اي از آلگوريتمهاي تواني براي فاكتور گيري وجود دارد، لرزه بر اندام بسياري افتاد. اما خوشبختانه براي استفاده از اين آلگوريتم به كامپيوترهاي كوانتومي نياز است كه هنوز در مرحله تكميل تئوريك قرار دارند. اكنون روش تازه آگراوال و دوستانش دوباره سيستم آر اس آ را در معرض خطر قرار داده است. آگراوال اكنون اين نكته را نشان داده كه ميتوان با كامپيوتر هاي معمولي، اعداد را از حيث اول بودن مورد آزمايش قرار داد. سوالي كه اينك مطرح شده آن است كه آيا الگوريتم مشابهي كه به صورت تواني كار كند براي فاكتورگيري اعداد غيراول نيز موجود است؟ پاسخ اغلب متخصصان به اين پرسش منفي است اما متاسفانه اين متخصصان همين حرف را در مورد آلگوريتم تواني مربوط به اعداد اول نيز ميزدند اگر پاسخ مثبت باشد انگاه سيستم آر اس آ ديگر از امنيت برخوردار نيست. يك عامل تخفيفدهنده نگرانيها آن است كه از سيستم آر اس آ براي انتقال همه محتواي پيامها استفاده نميشود بلكه صرفا "كليد هاي رمز" را كه اندازه شان كوچك است با اين سيستم انتقال ميدهند. براي انتقال بقيه پيام از روشهاي رمزنگاري متعارف بهره گرفته ميشود. به اين ترتيب جاسوسان در صدد برخواهند آمد كه به كليد رمزها دست يابند. به اين ترتيب درسي كه از موفقيت گروه سه نفره هندي گرفته ميشود آن است كه بايد با احتياط در ارسال پيامها عمل كرد. اگر اكتشافات مشابه آنچه گروه كانپور بدست اورده تكرار شود، انگاه ديگر نميتوان به ايمن بودن ارتباطاتي كه روي اينترنت برقرار ميشود اطمينان داشت. http://www.irna.ir/fa/news/view/menu-279/8405191730172702.htm |
|||||||||||||||||||||||||||||
