تاريخچه ي هندسه

هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصيات آنهاست. همچنين مطالعه ارتباط ميان اشکال ، زوايا و فواصـل است. واژه انگليسی جئومتری ( هندسه ) از زبان يونانی ريشه گرفته است. اين کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمين و «متری» به معنای اندازه گيری تشکيل شده است.بنابراين هندسه اندازه گيری زمين است. مصريان اوليه نخستين کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نيل طغيان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسيل فرا می گرفت. اين عمل تمام علايم مرزی ميان تقسيمات مختلف را از بين می برد و لازم می شد دوباره هر کس زمين خود را اندازه گيری و مرزبندی نمايد. آنها روشی از علامت گذاری زمينها با کمک پايه ها و طنابها اختراع کردند. آنها پايه ای را در نقطه ای مناسب در زمين فرو می کردند، پايه ديگری در جايی ديگر نصب می شد و دو پايه توسط طنابی که مرز را مشخص می ساخت به يکديگر متصل می شدند.با دو پايه ديگر زمين محصور شده ، محلی برای کشت يا ساختمان سازی می گشت. با برآمدن يونانيان اطلاعات رياضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت. در آغاز تمام اصول هندسی ابتدايی بود. اما در سال 600 قبل از ميلاد مسيح ، يک آموزگار يونانی به نام طالس، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد. در هندسه ، يک واقعيت را فرضيه می نامند.طالس دلايل ثبوت برخی از فرضيه ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشريحی بود. اما دانشمندی به نام اقليدس که در اسکندريه زندگی می کرد ، هندسه را به صورت يک علم بيان نمود. وی حدود سال 300 قبل از ميلاد مسيح ، تمام نتايج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در يک مجموعة 13 جلدی قرار داد. اين کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنيا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند. براساس اين قوانين ، هندسه اقليدسی تکامل يافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های ديگری از هندسه توسط رياضيدانان مختلف ، توسعه می يافت

امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف اين علم را نظير هندسة تحليلی و مثلثات، هندسه غير اقليدسی و هندسه فضايی مطالعه می کنيم. خدمت بزرگ يونانيان در پيشرفت رياضيات اين بود که آنان احکام رياضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقليدس، فيثاغورث( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نيز به پيشرفت علم رياضی خدمت بسيار کرده بودند. در قرن دوم قبل از ميلاد رياضيدانی به نام هيپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستين کسی بود که تقسيم بندی معمولی بابلی ها را برای پيرامون دايره پذيرفت.به اين معنی که دايره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقيقه و دقيقه را به 60 قسمت برابر تقسيم نمود و جدولی براساس شعاع دايره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می داد و اين قديمی ترين جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. بعد از آن دانشمندان هندی موجب پيشرفت علم رياضی شدند. در قرن پنجم ميلادی آپاستامبا، در قرن ششم ، آرياب هاتا ، در قرن هفتم ،براهماگوپتا و در قرن نهم ،بهاسکارا در پيشرفت علم رياضی بسيار مؤثر بودند

تقسيم بندي هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو قسمــت تقسيـم می گردد: هندسه ي مسطح و هندسه ي فضايي
در هندسه مسطح ، اشکالی مورد مطالعه قرار می گيرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضايی ، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. اين بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب ها ،استوانه ها، مخروط ها، کره ها و غيره است. هندسه مسطحه قسمتی از هندسه ( کلمه يونانی به معنی اندازه گيری زمين ) است که با شکلهای دو بعدی سروکار دارد.گرچه ما در دنيايی سه بعدی زندگی ميکنيم مطالعه هندسه مسطحه ميتواند بينش ما را نسبت به بعضی از ويژگيهای اطرافمان عميق کند. مفاهيم اساسی هندسه نيز، درست همان طور که مفهوم عدد از دنيايی مرئی مجرد شده است، از فرا يندی تجريدی که قرنها به طول انجاميده به دست آمده اند. در اين مورد ،با چشم پوشی از تفاوتهای غير ذاتی، از قبيل رنگ،شکل يا ترکيب رويه اي، و عدم توجه به اختلافهای ديگر اشيای حقيقی، به صورتهای فضا ی در سه بعد: طول، عرض و ارتفاع مي رسيم. در اين صورت ميگوييم جسم فضايی سه بعد، اما رويه تنها دو بعد، خط مثلا لبه برخورد دو رويه، يک بعد و سرانجام ، نقطه، که به عنوان تقاطع دو خط در نظر گرفته ميشود بعد صفر دارد. در هندسه مسطحه صفحه را همواره به صورتی که داده شده است در نظر ميگيريم،و بررسيهای هندسی را، در حالت عمومی، در اين صفحه انجام ميدهيم،اما در حالتهای خاص بهتر است که فضای اقليدسی نيز به عنوان يک شی هندسی در نظر گرفته شود
نقطه ها و خطها مفاهيم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی اند. به طور شهودی، خط را اغلب به صورت مسير نقطه ای تعريف می کنند که در صفحه به چنان طريقی حرکت ميکند که همواره کوتاهترين راه بين دو مکان خود را اختيار ميکند و تغيير سو نميدهد: با اين همه، حتی در رهيافتی دقيقتر نيز هيچ گونه تعريفی از خط و نقطه داده نميشود اما در رياضيات جديد رابطه های بين اين دو نوع شی هندسی توسط آكسيوم ها مشخص ميشوند. مثلث از اساسی ترين اشکال در هندسه ميباشد.يک مثلث دارای سه راس است که سه ضلع اين رئوس را به هم وصل ميکند.در هندسه اقليدسی اين اضلاع خطوطی مستقيم هستند. ولی در هندسه کروی اين اضلاع کمان هايی از دايره عظيمه مي باشند

هندسه ي نا اقليدسي و نسبت عام انيشتين

در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترين كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است. اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند. هندسه اقليدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضاياى هندسه با توجه به اين پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقليدس مى گويد: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، يك خط و تنها يك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.»

هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ريمانى» اين اصل موضوعه پنجم را مورد ترديد قرار دادند. در هندسه «ريمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بيش از يك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت اين دو هندسه منحنى وار هستند. بدين معنا كه كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه يك منحنى است.
هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) همچنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با 180 درجه نيست. (در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر 180 درجه است.) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضيدانان جالب توجه بود اما اهميت آنها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيكدانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد. چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه «ريمانى» است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است.
نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و يا حتى "ان" بعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه «ريمانى» را برگزيد.
هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نور مستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آنها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيد خط سيرى منحنى دارد. براساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشيا اطلاق مى كنيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد. نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهند كه پديده هايى سازگار با زمان - مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به «قراردادگرايى» مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلايل كافى براى رد آنها وجود دارد؟

هندسه برخالي

هندسه برخالي يا هندسه فرکتالي وسيله و مفهومي نوين است که امکان توصيف ريختهاي طبيعي را ميسر کرده است. اشکال هندسي طبيعي همچون کرات آسمان و درخت کاج را به آساني مي‌توان با کره و مخروط توصيف کرد ولي بسياري ديگر از اشکال طبيعي به اندازه‌اي پيچيده هستند که حتي با ترکيبي از اشکال هندسه اقليدسي قابل توصيف دقيق نيستند. شکل گل‌کلم، ريخت کوهها، رويه يک فلز در مقياس‌هاي ميکروسکوپي نمونه‌هايي از شکل‌هاي طبيعي هستند که توصيف آنها تنها توسط هندسه برخالي ممکن است
کشف مفاهيم فرکتالي (برخالي) ابزاري نيرومند در اختيار دانشمندان براي همسنجي پديده‌هاي پيچيده طبيعي قرار داد. براي نمونه با کاربرد مفاهيم برخالي مي‌توان شکل رودخانه‌هاي رشته کوه‌هاي البرز را با شکل رودخانه‌هاي کوه‌هاي زاگرس مقايسه کرد و يا مي‌توان تغييرات فعاليت‌هاي لکه‌هاي خورشيدي در زمان را توصيف و با تغييرات دماي جو زمين همسنجيد. مسلماً مقايسه طول رودخانه‌هاي البرز با درازاي رودخانه‌هاي زاگرس توصيف دقيقي نخواهد بود زيرا تنها يک جنبه از هندسه پيچيده رودخانه‌هاي نامبرده را مورد مقايسه قرار مي‌دهد. مقايسه همخواني بسامد‌هاي سازنده تغييرات تعداد لکه‌هاي خورشيدي در زمان با تغييرات دماي جو در زمان مي‌تواند همبستگي اين دو پديده نامبرده را تا اندازه‌اي معين کند ولي نمي‌تواند معياري يکتا که ارتباط ميان بسامد‌هاي سازنده اين دو پديده را معين مي‌کند ارائه دهد
هندسه برخالي چيست؟
هندسه برخالي يک مفهوم نوين است که براي نخستين بار از سوي بنويت مند‌لبروت در سال ???? معرفي گرديد. بنياد هندسه برخالي بر اين فرض استوار است که اشکال طبيعي خودهمانند هستند و از تکرار قانونمند يک بلوک آغازين ايجاد گرديده‌اند. برخالها را به دو دسته رياضي و طبيعي تقسيم مي‌کنند. نمونه برجسته برخال رياضي، برخال کخ است. در پايان بايد گفت اين نوع خاص از هندسه به سه مفهوم مهم رياضي محتاج است
مفهوم تابع
مفهوم نمودار تابع
مفهوم اعداد مختلط

نقش هندسه در ریاضی

بین فلاسفه ی ریاضی و تاریخ دانان ریاضی اختلاف نظر وجو دارد که آیا ابتدا مفاهیم مربوط به عدد در ریاضیات مطرح شد، یا مفاهیم مربوط به خط و صفحه و پیوستارهای هندسی.

ولی آنچه مسلم است تکامل ریاضیات در ارتباط با پیشرفتهای دو رشته ی حساب و هندسه صورت پذیرفته است. اما این دو عنصر اساسی ریاضیات همواره همدوش یکدیگر به پیش نرفته اند. چه بسیار اتفاق افتاده است که این دو با هم رقابت داشته اند و ترقی یکی باعث رکود دیگری گشته است.

اولین قدم واقعی ریاضی بوسیله ی هندسه برداشته شد. یونانیان سال های 600 تا 300 قبل از میلاد به ریاضیات سازمان و رنگ تجدد و استدلال قیاسی دادند و ساختمان عظیم هندسه ی اقلیدسی را بنیان نهادند یونانیان خطوط و منحنی های(مثلث، دایره، بیضی، هذلولی و سهمی) را در یک طبقه و سطوح (مکعب، کره، پارابولوئید و هیپر بولوئید) را در طبقه ای دیگر مورد مطالعه قرار می دهند چون یونانیان بطور خالص در هندسه کار می کرردند بنابراین هندسه ی اقلیدسی، جبری را که تا آن زمان شناخته شده بود نیز در بر می گرفت مثلا حل معادله درجه دوم یک مجهولی به روش هندسی انجام می شد.

 پس از ویرانی تمدن یونان بوسیله ی اسکندر و انتقال آن به اسکندریه، دانشمندان اسکندریه حساب و جبر را به هندسه ی اقلیدسی اضافه کردند تا بدین وسیله بتوانند نتایج کمی بدست آوردند.

بعد از ریاضیدانان اسکندریه ریاضیدانان اسلامی و ایرانی در پیشرفت و تکامل ریاضیات نقش عمده ای به عهده داشتند. محمد بن موسی خوارزمی بنیان گذار جبر و مقابله است که کلمه جبر یا الجبر, Algebra  Algebre  از نام کتاب وی گرفته شده است و واژه ی الگوریتم نیز شکل لاتینی شده ی نام خوازرمی است. (الگوریتم به معنی متد و قوانین محاسبه است.)

در تکامل هندسه که منحنی به پیدایش هندسه ها و فضاهای جدید گردیده است ریاضی دانان ایرانی نقش مهمی داشته اند. حکیم عمر خیام اولین کسی است که در جبر و مقابله، معادلات را بر حسب درجه مجهول مرتب، و با روشی تحلیل گونه حل و بحث کرد. خیام نخستین ریاضی دانی است که ریشه های معادله ی درجه سوم را به روشی هندسی بدست آورد و مقدمات کاربرد جبر در هندسه را طرح ریزی کرد.

در رساله ای بنام« فی شرح مااشکل من مصادرات اقلیدس» خیام به اصل توازی که اقلیدس جز اصول متعارفی آورده است، ایراد گرفته، می گوید که این حکم نیاز به اقامه ی برهان دارد و خود برای آن هشت مقدمه می آورد که بعدها خواجه نصیر الدین طوسی ریاضیدان بزرگ ایرانی مقدمه هشتم او را مخدوش می یابد و خود زمینه ی اثبات اصل توازی تلاش می نماید.

بوتاون تورا کاوالیری (1564-1642) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال 1635،  با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید.

غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.

برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.

اصل کاوالیری درباره مساحت:

اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.

با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d  رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.

اصل کاوالیری در باره حجم ها:

دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.

خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»

این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.

کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.

ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.

طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد...

به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.

یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.