| تبليغات | X |
 |
رياضياتوب نوشته های رضا سامی درباره ریاضیات . |
 |
آرشیو مطالب |
 |
تماس با مدیریت وبلاگ |
|
صفحه نخست |
 |
 «رياضيات علم نظم است و موضوع آن يافتن، توصيف و درك نظمي است كه در وضعيتهاي ظاهرا پيچيده نهفته است و ابزارهاي اصولي اين علم ، مفاهيمي هستند كه ما را قادر ميسازند تا اين نظم را توصيف كنيم» .
دكتر ديبايي استاد رياضي دانشگاه
RSS طراح قالب |
نوشته: روزبه ابرازی برگرفته از وبلاگ ریاضی کاربردی افلاطون گفت :«خدا هندسه دان است .» ژاکوبی این جمله را چنین تغییر داد : «خدا حساب دان است .» سپس کرونکر آمد و این سخن به یاد ماندنی را باب کرد: « خدا عدد های طبیعی را آفرید ، مابقی کار انسان است »فلیکس کلاین اول یک تکه کاغذ 30x2cm تهیه کنید حالا این نوار کاغذی را به موازات عرض و هر بار از وسط 4 بار تا بزنید به طوری که تمام خط های تا به موازات عرض قرار بگیرد .حالا شروع کنید به باز کردن کاغذ از روی خط های تا اما دقت کنید زاویه های ایجاد شده روی هر یک از خط های تا 90 درجه باشد به عبارت دیگر دو لبه ی هر خط تا با هم زاویه 90 درجه بسازند یعنی یه چیزی شبیه به تصویر پایین:
حالا این شکل چیه ؟ این کجاش شبیه یک شکل فراکتالی زیباست ! صبر کنید "همیشه اشکال فراکتالی در مراحل اولیه کلید های کمی از ساختار ریاضیاتی زیبای خود ارائه می دهند" نوار کاغذی ما بعد از باز شدن از کنار مانند تصویر زیر است:
شکل(1) ما نمی تونیم بیش از 8 تا به کاغذ بزنیم بعد هم تمام زوایا را بصورت 90 درجه در بیاوریم پس برای ادامه راه از همون موجود کودنی که در مقابل هوش سرشار شما قرار گرفته استفاده می کنیم یعنی اینکه قاعد کلی حرکت این خطوط را استخراج می کنیم و می دیم دست رایانه! اگر خوب به ابتدای مسیر حرکتی (خطوط قرمز) که از بالا شروع میشود نگاه کنیم می بینمی که ابتدا متحرک ما به سمت راست پیچیده خوب ما این حرکت را با یک R نشان می دهیم سپس دوباره بسمت راست و بعد از ان به سمت چپ L و.... حالا خودتون به رشته حروف زیر دقت کنید ببینید می توانید قاعده اصلی را بدست بیاورید: ......R->RR->RRL->RRLR->RRLRRLL خوب حالا اگر این 2 تا قاعده را اجرا کنید می توانید بقیه مسیر رو بدون نگاه کردن به باقی شکل بنویسید: 1.ابتدا با یک حرکت R شروع کنید. خوب اگر دقت کنید برای اولین R قانون دوم اجرا نمی شود چون در سمت چپ آن حرفی نیست . حالا برای اینکه بهتر متوجه ماجرا بشیم به چند گام ابتدایی زیر دقت کنید و آن را با رشته حرکاتی که پیش از این نوشتیم مقایسه کنید . R من R های قانون اول را پر رنگ تر نوشتم ولی R هایی که از قانون دوم بدست آمده با حروف معمولی نوشته شده. رشته حروف چهارم دقیقا تمام شکل(1) را کامل میکند ولی رشته پنجم به شکل زیر است : حالا فکر می کنید اگر این قاعده 20 بار و در مسیر های کوتاه اجرا شود چه شکلی بدست می آید، برای دیدن چهره واقعی این فراکتال زیبا از برنامه کوچکی (18k )که دوست عزیزم آقا تایماز برای اون نوشته استفاده کنید اینم لینک برنامه: البته این برنامه فراکتال را در دو جهت رسم می کند یعنی دو متحرک بصورت قرینه از یک نقطه شروع به حرکت می کنند. اما در انتها می خواهیم ببینیم چطور میشه حرکت nام ( راست یا چپ بودن )را پیدا کنیم : ابتدا عدد n را بصورت K2n بنویسید طوری که k یک عدد فرد باشد حالا اگر باقیمانده k بر 4 عدد 1 شد nامین حرکت R و اگر باقیمانده 3 بود nامین حرکت L است. مثال: می خواهیم جهت حرکت 10 را حساب کنیم : ۵x21 à 5 mod 4 = 1
76376 = 9547 x 8 =9547 x 23 ۹۵۴۷mod4 = 3
حالا اگر می خواهید ببینید که این فراکتال با چه تابع تکرار شونده ای تعریف میشه و دنباله حرکات در مبنای 2 یا 8 کدام دنباله ها از اعداد را میدهد ، نمودار رخداد (recurrence plot ) این فراکتال چگونه است ، تاریخچه و تصاویر دیگر آن به چه نحو است، به لینک های منبع مراجعه کنید. منابع :
http://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html
نام چند سایت در مورد فراکتال و تصاویر فراکتالی
کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن میپندارند و به همین مناسبت ، ریاضیدان و معلم ریاضی را فردی عبوس ، بیاحساس و بیذوق میپندارند و از اینکه کسی که سر و کار و رشتهاش ریاضیات است، اهل ذوق و هنر و شعر و موسیقی باشد و از آن لذت ببرد، متحیر میشوند. آیا به واقع هنر و ریاضیات ، یا به عبارت دیگر ، زیبایی و ظرافت و ریاضی دو مقوله متضاد و دور از هم و ناسازگارند؟ آیا علاقه به ریاضیات و تخصص داشتن در آن ، به معنای بیذوقی ، بیاحساسی و دور بودن از زندگی است؟ انسان ترکیبی از احساس ، عاطفه و تاثیر پذیری از یک طرف و اندیشه و خرد و داوری منطقی از طرف دیگر است.در واقع انسان ، مجموعهای یگانه از جان و خرد است. احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمیتوان از هم جدا کرد. به قول هوشنگ ابتهاج عشق بیفرزانگی ، دیوانگی است. هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سر سبز آرامش مییابد و در عین حال به فکر فرو میرود.شاعر احساس درونی خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان میکند. گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر خود و زبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری گیاه و داروشناس در جستجوی ویژگیهای درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگها یا اندازهها و شکلها را مورد مطالعه قرار میدهد. ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان پس علت این گوناگونی در رابطه بین گیاه و انسان ، وجود جنبههای گوناگون و گسترده انسان و تجلی آنها در شرایط مختلفی است. هم ریختی نمونه با پدیده مورد نظر و سادگی درک نمونه و سادگی کار کردن با آن ، مفهوم عینی بودن را تشکیل میدهد. با بکار گرفتن عینیت ، زبان دشوار پدیده را به زبان سادهتر مدل عینی ترجمه میکنیم و نتایج لازم را بدست میآوریم.وقتی که دانش آموزی میخواهد به تنهایی مساله دشواری را حل کند نمونه عینی پدیدهای را باید در مساله شرح دهد، برای خودش بسازد، دشواری مسالههای نامتعارف در این هست که برای حل آنها باید بطور مستقل نمونه همریخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوی که از پدیده نخستین سادهتر باشد. نامتعارف بودن این نمونه و نامنتظر بودن آن به معنای زیبایی و ظرافت راه حل است. زیبایی حل یک مساله را وقتی احساس میکنیم که به کمک یک نمونه عینی بدست آید و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقیم به ذهن هر کسی نمیرسد و به زحمت در دسترس قرار میگیرد. این رابطه به فرهنگ ریاضی مربوط میشود و کسی که چنین فرهنگی دارد، دید گستردهتری دارد، با کمترین نشانهها ، شباهت بین زمینههای مختلف ریاضی را پیدا میکند و به کشف رابطه بین آنها و فرمولبندی و استفاده از روابط گوناگون بین آنها میپردازد. و بدین ترتیب مساله را نامتعارفتر و زیباتر از بقیه حل میکند و با سادهترین و کوتاهترین و در عین حال جالبترین روش به جواب مساله میرسد و موجب شگفتی و لذت خود و بقیه میگردد
اقلیدس، اصول و 2000 سال تلاش
 سلام.
کتابی که می خواهم معرفی کنم یک مقاله PDF درباره تاریخچه تحولات مبانی هندسه و پیدایش هندسه نا اقلیدسی است. این مقاله حدود ۲۰ صفحه است که به بررسی روند تغییر و تحولات مبانی هندسه و به خصوص کتاب اقلیدس می پردازد و به عنوان یکی از مهمترین تحولات به اصل توازی اقلیدس می پردازد. در این مقاله چگونگی تولد هندسه غیر اقلیدسی بر اثر کار بر روی کتاب اقلیدس برای رفع نواقص آن شرح داده می شود. به همه آنهایی که ریاضی و به خصوص هندسه دوست دارند خواندن این مقاله را پیش نهاد میکنم. حجم این فایل 320KB است. برای دنلود مقاله بر روی لینک زیر کلیک کنید. (من خودم این فایل رو آپلود کردم و لینک مشکلی نداره. اما ممکنه سرور مشکلی پیدا کنه. اگه نتونستید دنلود کنید به من ایمیل بزنید تا براتون فرستم.) اقلیدس اصول و دوهزار سال تلاش (حجم فایل : 320KB
ریاضیدانان بزرگ، هرچند که آثارشان برای درک علم و فلسفه ضروری است، از دانشمندان و فلاسفه بزرگ، کم آوازه ترند. با این وجود برخی از آنان در طول زندگی پرماجرای خود، در امور نظامی و سیاسی و سایر حرفه ها دست داشته اند و از نقطه نظر فردی همه آنان دارای شخصیت های گوناگون بوده اند. در کتاب ریاضیدانان نامی با زندگی و آثار بیش از 38 تن از بزرگترین ریاضیدانان جهان نظیر ارشمیدس، دکارت، پاسکال، نیوتون، لاپلاس، گائوس، سوفوس لی، هرمیت، پوآنکاره و کانتور آشنا می شویم. «« کتاب زنده و پر هیجان اریک تمپل بل _ (ریاضیدانان نامی) _ برای کتابخانه هر آموزشگاهی لازم و ضروری است. (مجله رسمی ریاضیات Mathematical Gazette) »»
جمعبندی ایده های حل مسائل معادلات تابعی I
جمعبندی ایده های حل مسائل معادلات تابعی II قضایای متفرقه چندجمله ایها
1. اعداد مختلط
 را مینامیم، در این صورت تمام اعداد منفی با معنی خواهد بود، در نتیجه معادلههای درجه دوم، همگی ریشه های با معنی ای خواهند داشت برای مثال  و  ، یا در واقع  ، ریشه های معادله هستند. اما این گونه اعداد، حقیقی نیستند، چراکه مجذور آنها مثبت نیست. بنابراین با اعداد جدیدی روبرو هستیم. این اعداد را اعداد مختلط ( یا موهومی ) نامیده اند. نماد ، اولین بار توسط اویلر در قرن هیچدهم معرفی شده است و برابر است با . بدین ترتیب به ازای اعداد حقیقی ، عدد  ، عددی مختلط است که به  بخش حقیقی و به بخش مختلط گفته میشود. اگر بنامیم،مینویسیم :  و  ، که  بترتیب معرف بخش حقیقی و مختلط هستند. حال اگر اعداد مختلط  را چنین تعریف کنیم:  حاصل جمع و حاصل ضرب آن ها این گونه تعریف میشود   زیرا همان طور که گفتیم،  میباشد. بنابراین جمع و ضرب اعداد مختلط دارای خواص زیر است: 1.جابجایی:  . 2.شرکت پذیری:  . 3.توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع:  صفر مختلط برابر است با  ، همچنین را قرینه نامیم هر گاه:  .  را معکوس گوییم هر گاه:  ، بدین ترتیب:  در نتیجه حاصل تقسیم  بر  چنین محاسبه میشود:  و یک نوع نمایش نیز به این شکل است:  . بنابراین اگر فرض کنید  نقاطی در صفحه اند، داریم:   که جمع و ضرب آن ها بنابر آنچه که تعریف کردیم، چنین خواهد بود:   توجه کنید که هر عدد مختلط توسط 2 جزء  قابل نمایش است پس با این اعمال روی  دستگاهی از اعداد پدید می آید که به آن دستگاه اعداد مختلط گویند، و آن را با  نمایش میدهند. صفحه ای که نقاط آن را اعداد مختلط تشکیل دهند، صفحه مختلط مینامند. این صفحه دارای دو محور افقی و عمودی است. تمام اعداد مختلطی را در نظر بگیرید ( مانند  ) که بخش مختلط آن صفر است، این اعداد به صورت  خواهند بود و همان طور که مشاهده می شود، اعدادی حقیقی هستند. یعنی محور افقی این صفحه، محور اعداد حقیقی است. حال اگر بخش حقیقی آن را صفر کنید، اعدادی به صورت  بدست می آیند، که محور عمودی این صفحه را تشکیل می دهند و به اعداد مختلط محض معروفند. با این تعاریف داریم:  و آنچه که در مورد جمع و ضرب اعداد مختلط تعریف نمودیم بر تعریف آن در صفحه مختلط هم منطبق خواهد بود. لذا نمایش عدد مختلط در صفحه مختلط همان نمایش زوج مرتب خواهد بود: 
هدف «رياضيات علم نظم است و موضوع آن يافتن، توصيف و درك نظمي است كه در وضعيتهاي ظاهرا پيچيده نهفته است و ابزارهاي اصولي اين علم ، مفاهيمي هستند كه ما را قادر ميسازند تا اين نظم را توصيف كنيم» . اهداف گرايشهاي مختلف اين رشته عبارتنداز:
حساب ديفرانسيل و انتگرال حساب ديفرانسيل و انتگرال در آغاز برای برآورده کردن نيازهای دانشمندان قرن 17 ابداع شد.البته لازم به ذکر است ريشه های اين علمرا ميتوان تا هندسه کلاسيک يونانی ميتوان رديابی کرد. حساب ديفرانسيل و انتگرال به دانشمندان امکان می داد شيب خمها را تعريف کنند، زاويه آتشباری توپ را برای حصول بيشترين برد بدست آورند، و زمانهايی که سيارات نزديکترين و دورترين فاصله را از هم دارند،پيش بينی کنند. پيش از پيشرفتهای رياضی که به کشف بزرگ آيزاک نيوتن و لايب نيتس انجاميد،يوهانس کپلر منجم با بيست سال تفکر،ثبت اطلاعات،و انجام محاسباث سه قانون حرکت سيارات را کشف کرد دوم: خط واصل بين خورشيد و ستاره در مدتهای مساوی مساحات مساوی را طی ميکنند سوم: مربع گردش هر سياره به دور خورشيد،متناسب است با مکعب فاصله متوسط آن سياره از خورشيد
آمار علم و عمل توسعه ي دانش انساني از طريق استفاده از روشهايي براي گردآوري و تنظيم و تحليل داده هاي تجربي بهشکل اطلاعات «عددي» است. همچنين در صورتي که معناي شاخهاي علمي مد نظر نباشد، معناي آن، دادههايي بهشکل ارقام و اعداد واقعي يا تقريبي است که با استفاده از علم آمار ميتوان با آنها رفتار کرد و عمليات ذکر شده در بالا را بر آنها انجام داد.
علم آمار
علم آمار بر نظريه ي آمار مبتني است كه شاخه اي از رياضيات كاربردي است. در نظريه ي آمار، اتفاقات تصادفي و عدم قطعيت توسط نظريه ي احتمال، مدل بندي مي شود. در اين علم، مطالعه و قضاوت معقول در باره ي موضوعهاي گوناگون، بر مبناي يک جمع انجام ميشود و قضاوت در مورد يک فرد خاص، اصلاً مطرح نيست. از آنجا که هدف آمار اين است که «بهترين» اطلاعات را از دادههاي موجود توليد کند، بعضي نويسندگان، آمار را شاخهاي از نظريه ي تصميم گيري به شمار مي آورند كه اين علم به بخشهاي آمار توصيفي و آمار استنتاجي تقسيم مي شود
عمل آماري
عمل آماري شامل برنامهريزي و جمعبندي و تفسير مشاهدات غير قطعي است بهشکلي که روشهاي آماري
مطالعات تجربي و مشاهداتي هدف كلي براي يك پروژه تحقيقي آماري، بررسي حوادث اتفاقي بوده و به ويژه نتيجه گيري روي تأثير تغييرات در ارزش شاخص ها يا متغير هاي غير وابسته روي يك پاسخ يا متغير وابسته است. دو شيوه اصلي از مطالعات آماري تصادفي وجود دارد: مطالعات تجربي و مطالعات مشاهداتي . در هر دو نوع از اين مطالعات، اثر تغييرات در يك متغير ( يا متغير هاي ) غير وابسته روي رفتار متغير هاي وابسته مشاهده مي شود. اختلاف بين اين دو شيوه درچگونگي مطالعه اي است كه عملاً هدايت مي شود. يك مطالعه تجربي در بردارنده روش هاي اندازه گيري سيستم تحت مطالعه است كه سيستم را تغيير مي دهد و سپس با استفاده از روش مشابه اندازه گيري هاي اضافي انجام مي دهد تا مشخص سازد كه آيا تغييرات انجام شده، مقادير شاخص ها را تغيير مي دهد يا خير. در مقابل يك مطالعه نظري، مداخلات تجربي را در بر نمي گيرد. در عوض داده ها جمع آوري مي شوند و روابط بين پيش بيني ها و جواب بررسي مي شوند. احتمال
در زبان محاوره، احتمال يكي از چندين لغتي است كه براي دانسته يا پيشامدهاي غير مطمئن به كار مي رود و كم و بيش با لغاتي مثل مشابه، با ريسك، خطرناك، نامطمئن، مشكوك و بسته به متن قابل معاوضه مي باشد. شانس، بخت، امتياز و شرط بندي از لغات ديگري هستند كه نشان دهنده برداشت هاي مشابهي هستند. همانگونه كه نظريه مكانيك تعاريف دقيقي از عبارات متداولي مثل كار و نيرو دارد، نظريه احتمال نيز تلاش دارد تا برداشت هاي احتمال را كميت سازي كند
نرمافزارها
آمار مدرن براي انجام بعضي از محاسبات خيلي پيچيده و بزرگ به وسيله كامپيوترها استفاده مي شود. كل شاخه هاي آمار با استفاده از محاسبات كامپيوتري انجام پذير شده اند، براي مثال شبكه هاي عصبي. انقلاب كامپيوتري با يك توجه نو به آمار «آزمايشي» و «شناختيک» رويكردهايي براي آينده آمار داشته است. يكي از مهمترين كاربرد هاي آمار و احتمال با استفاده از كامپيوتر شبيه سازي است شبيه سازي نسخه اي از بعضي وسايل حقيقي يا موقعيت هاي كاري است. شبيه سازي تلاش دارد تا بعضي جنبه هاي رفتاري يك سيستم فيزيكي يا انتزاعي را به وسيله رفتار سيستم ديگري نمايش دهد. شبيه سازي در بسياري از متون شامل مدل سازي سيستم هاي طبيعي و سيتم هاي انساني استفاده مي شود. براي به دست آوردن بينش نسبت به كاركرد اين سيستم ها در تكنولوژي و مهندسي ايمني كه هدف، آزمون بعضي سناريوهاي عملي در دنياي واقعي است از شبيه سازي استفاده مي شود. در شبيه سازي با استفاده از يك شبيه ساز يا وسيله ديگري در يك موقعيت ساختگي مي توان اثرات واقعي بعضي شرايط احتمالي را بازسازي كرد
آناليز رياضي آناليز شاخه ای از رياضيات است که با اعداد حقيقی و اعداد مختلط و نيز توابع حقيقی و مختلط سر و کار دارد و به بررسی مفاهيمی از قبيل پيوستگی ،انتگرال گيری و مشق پذيری می پردازد. از نظر تاريخی آناليز در قرن هفدهم با ابداع حساب ديفرانسيل و انتگرال توسط نيوتن و لايپ نيتس پايه ريزی شد. در قرن هفدهم و هجدهم سر فصل های آناليزی از قبيل حساب تغييرات،معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئی، آناليز فوريه در زمينه های کاربردی توسعه فراوانی يافتند و از آنها به طور موفقيت آميز در زمينه های صنعتی استفاده شد. در قرن هجدهم تعريف مفهوم تابع به يک موضوع بحث بر انگيز در رياضيات تبديل شد. در قرن نوزدهم کوشی با معرفی مفهوم سری های کوشی اولين کسی بود که حساب ديفرانسيل و انتگرال را بر يک پايه منطقی استوار کرد.. در اواسط قرن نوزدهم ريمان تئوری انتگرال گيری خود را که به انتگرال ريمان معروف است ارائه داد، در اواخر قرن نوزدهم وايراشتراس مفهوم حد را معرفی کرد و نتايج کار خود بر روی سريها را نيز ارائه داد در همين دوران رياضيدانان با تلاش های زياد توانستند انتگرال ريمان را اصلاح نمايند . در اوايل قرن بيستم هيلبرت برای حل معادلات انتگرال فضای هيلبرتی را تعريف و معرفی نمود.از آخرين تحولات در زمينه آناليز می توان به پايه گذاری آناليز تابعی توسط يک دانشمند لهستانی به نام باناچ نام برد آناليز به دسته هاي زير تقسيم بندي مي شود آناليز عددي آناليز عددی الگوريتم حل مسئله در رياضيات پيوسته(رياضياتی که جدا از رياضيات گسسته است)را مورد مطالعه قرار ميدهد. آناليز عددی اساسا به مسائل مربوط به متغيرهای حقيقی و متغيرهای مختلط و نيز جبر خطی عددی به علاوه حل معادلات ديفرانسيل و ديگر مسائلی که از فيزيک و مهندسی مشتق ميشود. تعدادی از مسائل در رياضيات پيوسته دقيقا با يک الگوريتم حل ميشوند.که به روش های مستقيم حل مسئله معروف اند.برای مثال روش حذف گائوسی برای حل دستگاه معادلات خطی است و نيز روش سيمپلکس در برنامه ريزی خطی مورد استفاده قرار ميگيرد. ولی روش مستقيم برای حل خيلی از مسائل وجود ندارد.و ممکن است از روشهای ديگر مانند روش تکرارشونده استفاده شود،چون اين روش ميتواند در يافتن جواب مسئله موثرتر باشد. تخمين خطاهای موجود در حل مسائل از مهمترين قسمت های آناليز عددی است اين خطاها در روش های تکرار شونده وجود دارد چون به هرحال جوابهای تقريبی بدست آمده با جواب دقيق مسئله، اختلاف دارد و يا وقتی که از روش های مستقيم برای حل مسئله استفاده می شود خطاهايی ناشی از گرد کردن اعداد بوجود می آيد. در آناليز عددی می توان مقدار خطا را در خور روش که برای حل مسئله به کار می رود، تخمين زد
رياضيات فازي يک فرا مجموعه از منطق بولي است که بر مفهوم درستي نسبي، دلالت مي کند. منطق کلاسيک هر چيزي را بر اساس يک سيستم دوتائي نشان مي دهد ( درست يا غلط، 0 يا 1، سياه يا سفيد) ولي منطق فازي درستي هر چيزي را با يک عدد که مقدار آن بين صفر و يک است نشان مي دهد. مثلاً اگر رنگ سياه را عدد صفر و رنگ سفيد را عدد 1 نشان دهيم، آن گاه رنگ خاکستري عددي نزديک به صفر خواهد بود. در سال 1965، دکتر لطفيزاده نظريه سيستمهاي فازي را معرفي کرد. در فضايي که دانشمندان علوم مهندسي به دنبال روشهاي رياضي براي شکست دادن مسايل دشوارتر بودند، نظريه فازي به گونهاي ديگر از مدلسازي، اقدام کرد
منطق فازي معتقد است که ابهام در ماهيت علم است. بر خلاف ديگران که معتقدند که بايد تقريبها را دقيقتر کرد تا بهرهوري افزايش يابد، لطفيزاده معتقد است که بايد به دنبال ساختن مدلهايي بود که ابهام را به عنوان بخشي از سيستم مدل کند. در منطق ارسطويي، يک دستهبندي درست و نادرست وجود دارد. تمام گزارهها درست يا نادرست هستند. بنابراين جمله «هوا سرد است»، در مدل ارسطويي اساساً يک گزاره نميباشد، چرا که مقدار سرد بودن براي افراد مختلف متفاوت است و اين جمله اساساً هميشه درست يا هميشه نادرست نيست. در منطق فازي، جملاتي هستند که مقداري درست و مقداري نادرست هستند. براي مثال، جمله "هوا سرد است" يک گزاره منطقي فازي ميباشد که درستي آن گاهي کم و گاهي زياد است. گاهي هميشه درست و گاهي هميشه نادرست و گاهي تا حدودي درست است. منطق فازي ميتواند پايهريز بنياني براي فنآوري جديدي باشد که تا کنون هم دستآوردهاي فراواني داشته است كاربرد منطق فازي از منطق فازي براي ساخت کنترل کننده هاي لوازم خانگي از قبيل ماشين رختشويي (براي تشخيص حداکثر ظرفيت ماشين، مقدار مواد شوينده، تنظيم چرخهاي شوينده) و يخچال استفاده مي شود. کاربرد اساسي آن تشخيص حوزه متغيرهاي پيوسته است. براي مثال يک وسيله اندازه گيري دما براي جلوگيري از قفل شدن يک عايق ممکن است چندين عضو مجزا تابعي داشته باشد تا بتواند حوزه دماهايي را که نياز به کنترل دارد به طور صحيح تعريف نمايد. هر تابع، يک ارزش دمايي مشابه که حوزه آن بين 0 و 1 است را اختيار مي کند. از اين ارزشهاي داده شده براي تعيين چگونگي کنترل يک عايق استفاده مي شود
عدد a رو رسم پذیر گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد. رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و ... چون اینها ضریبهایی از واحد طول هستند. اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل "رادیکال ۲". آیا این عدد رسم پذیر است؟
هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و... یک شکل رسم پذیر گوییم. حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا همه اعداد رسم پذیرند؟ و اگر نه چه عددهایی رسم پذیرند و کدام ها رسم پذیر نیستند. همه عددها رسم پذیر نیستند و تعیین رسم پذیری آنها به کارهای تخصصی می انجامد اما حالا که مفهوم عدد رسم پذیر رو فهمیدیم چند حکم کلی درباره رسم پذیری رو هم بیان می کنیم:
اکنون کار قضاوت در مورد رسم پذیری عددها خیلی ساده تر شد. تنها عددی ممکن است رسم پذیر نباشد که گنگ باشد. اما تعیین اینکه عدد گنگی رسم پذیر است یا نه دارای تکنیکهای ویژه ایست
رفاه مادی و آسایشی که بشر امروز از آن برخوردار است در پرتو دانش و فن آوری مدرن و مهندسی و سایر علوم بویژه فیزیک، شیمی، بیولوژی و رشته های مربوط به آنها بدست آمده است. در مطالعه این رشته ها و تقریبن هر رشته دیگر دانشگاهی، دانشجو بدانستن سطح معینی از ریاضییات نیازمند است. بیشترین معلومات ریاضی برای مطالعه در رشته های مهندسی، فیزیک و شیمی مورد نیاز است. سایر رشته ها مانند پزشکی، روانشناسی، جامعه شناسی، بیولوژی، کشاورزی، بازرگانی، تجارت، بانکداری و ده ها رشته دیگر اگر چه ظاهرن ارتباط زیادی با ریاضییات ندارند – و در حقیقت تا صد سال قبل هم این رشته ها تکیه زیادی بر ریاضییات نداشتند – اما در شکلهای مدرن و امروزی خود، این رشته ها دارای تئوری هایی هستند که درک آنها و کار بردشان شدیدن بستگی به آمار و تکنیک های ریاضی دارد. تهیه آمار از طریق جمع آوری اطلاعات و تجزیه و تحلیل آنها که تنها به روشهای ریاضی و یا با استفاده از کامپیوتر امکان پذیر است، امروزه یکی از راه های مهم حل مسائل علوم تجربی و مسائل موجود در جوامع بشری است. حتا رشته های مختلف علوم کامپیوتری هم بدون ریاضییات بخوبی به پیش نمیروند. ریاضییات تنها زبانی است که پدیده های طبیعی جهان هستی را بخوبی توضیح میدهد. ریاضییات حتا پدیده های اجتماعی_ خاه اجتماعات بشری، خاه اجتماعات حیوانی_ را نیز میتوانند بخوبی تشریح کند و با ترسیم مدلی برای آنها تغییرات آتی آنها را پیش بینی کند. لوباچفسکی (1) میگوید : "هیچ شاخه ای از علم ریاضی _هر اندازه هم که انتزاعی و مجرد باشد_ وجود ندارد که یک روز کاربردی برای آن در توضیح پدیده های دنیای واقعی پیدا نشود." از کهکشان ها و حرکت سیارات عظیم به دور خورشید ها گرفته تا حرکت ابر ها، بادها، گردبادهاو از پرواز فضا پیما های غول پیکر و هوا پیماهای عظیم الجثه و حرکت قطارها، کشتی ها و اتومبیل ها گرفته تا افتادن سیبی از درخت و سقوط قطرات باران و حدوث رنگین کمان و حرکت بی امان و خستگی ناپذیر الکترون ها به دور هسته اتم ها و فعل و انفعالات شیمیایی که میلیون ها از آن هر لحظه در طبیعت رخ میدهد و هر گونه "تغییر" در هر چیز و هر زمان، همه و همه با کمک مدلها و معادلات ریاضی قابل بر رسی هستند. قسمت عمده فیزیک با زبان ریاضی قابل تشریح و فهم است. تئوری کوانتوم و تئوری نسبیت با زبان ریاضی است که کوشش دارند قوانین کائنات را تشریح کرده و توضیح دهند. گالیله میگوید : " جهان هستی همواره در برابر دیدگان حیرت زده انسان گسترده خاهد ماند و انسان هرگز نمیتواند آنرا درک کند مگر اینکه زبانی را که این جهان با آن نوشته و توضیح داده شده است یاد بگیرد و حروف آنرا بشناسد. این زبان چیزی جز ریاضییات نیست و این حروف جز مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی چیز دیگری نیستند. بدون این زبان انسان حتا یک کلمه از جهان هستی را نخاهد فهمید و همواره گمشده ای را ماند که در کوچه های پر پیچ و خم سرگردان است. ریاضییات روش " منطقی فکر کردن" و "واقع بین بودن" را میاموزد. ریاضییات خالی از حدس و گمان و بدور از آن است. اثبات هر قضییه یا شکل دادن هر تئوری و استخراج هر فرمول بر اساس منطق و استدلال ریاضی است و وقتیکه یکی از این قضایا یا فرمول ها ثابت شد دیگر مرور زمان روی آن اثری نخاهد گذاشت. قضییه فیثاغورث در هندسه اقلیدسی بیش از 2500 سال عمر دارد و با بیش از 300 روش مختلف ثابت شده است. همه این روشها یک حقیقت واحد را ثابت کرده اند، حقیقتی که تا به امروز تغییر نکرده و در آینده نیز تغییر نخاهد کرد. سایر قضایای ثابت شده ریاضی نیز همین طورند و دیگر تغییر نمیکنند و گذشت زمان روی آنها اثری ندارد، در حالیکه برخی از نظریه هایی که در سایر رشته های علوم_ بویژه علوم تجربی _مطرح میشوند بمرور زمان کهنه شده و عوض میشوند. دیگران میایند و با تجربه ها و مشاهدات جدید خود نظریه ها را عوض میکنند یا آنها را بهبود می بخشند و به روز میکنند. بسیاری از مردم فکر میکنند که فارغ التحصیل رشته ریاضی فقط کار آیی و کفایت در تدریس ریاضییات را دارد و بس در حالیکه امروزه در غرب، بسیاری از کار فرما ها منجمله دولت ها برای استخدام در بخش های مختلف سازمان ها و نهاد های خود علاقمندند متخصصینی را که استخدام میکنند، دارای پشتوانه خوبی از ریاضییات نیز باشند و بویژه قادر به تجزیه و تحلیل مسائل موجود در آن کار و مطابقت دادن آنها با مدلهای ریاضی و بالاخره حل مسئله باشند. اینها برخی از دلائلی بودند که آموختن ریاضییات را در عصر امروز ضروری میکنند. اما آموختن ریاضییات یک دلیل دیگر هم دارد و آن اینستکه برای بسیاری از انسانها ریاضییات از جذابیت خاصی برخوردار است و آن پی بردن به شگفتی ها و اسرار و زیبایی هایی است که این دانش ذاتن در خود نهفته دارد.
تاريخچه عدد صفر يکی از معمول ترين سئوالهائی که مطرح می شود اين است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به اين سئوال بدنبال اين نيستيم که بگوئيم شخص خاصی صفر را ابداع و ديگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند. اولين نکته شايان ذکر در مورد عدد صفر اين است که اين عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسيار مهم تلقی می شود يکی از کاربردهای عدد صفر اين است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراين در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جايگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع اين عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومين کاربرد صفر اين است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنيم. هيچکدام از اين کاربردها تاريخچه پيدايش واضحی ندارند. در دوره اوليه تاريخ کاربرد اعداد بيشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اينگونه مسائل هيچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر يا اعداد منفی باشد. بابليها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هيچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولين نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گيومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمايش دهنده 2106 بود. البته بايد در نظر داشت که از علائم ديگری نيز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد وليکن هيچگاه اين علائم به عنوان آخرين رقم آورده نمی شدندبلکه هميشه بين دو عدد قرار می گيرند بطور مثال عدد "216 را با اين نحوه علامت گذاری نداريم. به اين ترتيب به اين مطلب پی می بريم که کاربرد اوليه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان يک عدد نبوده است. البته يونانيان هم خود را از اولين کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما يونانيان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابليان نداشتند. اساساً دستاوردهای يونانيان در زمينه رياضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت ديگر نيازی نبوده است که رياضی دانان يونانی از اعداد نام ببرند زير آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند. البتهبعضى ازرياضی دانان يونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در اين قسمت به اولين کاربرد علامتی اشاره می کنيم که امروزه آن را به اين دليل که ستاره شناسان يونانی برای اولين بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می ناميم. تعداد معدودی از ستاره شناسان اين علامت را بکار بردند و قبل از اينکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، ديگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در رياضيات هند ظاهر شد. هنديان کسانی بودند که پيشرفت چشمگيری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ايجاد کردند هنديان نيز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند. اکنون اولين حضور صفر را به عنوان يک عدد مورد بررسی قرار می دهيم اولين نکته ای که می توان به آن اشاره کرد اين است که صفر به هيچ وجه نشان دهنده يک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پيش اعداد به مجموعه ای از اشياء نسبت داده می شدند و در حقيقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ويژگيهای مجموعه اشياء نتيجه نمی شدند، ممکن شد. هنگاميکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگيريد با اين مشکل مواجه می شود که اين عدد چگونه در عمليات محاسباتی جمع، تفريق، ضرب و تقسيم عمل می کند. رياضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به اين سئوالها پاسخ دهندو در اين زمينه نيز تا حدودى موفق بوده اند . اين نکته نيز قابل ذکر است که تمدن ماياها که در آمريکای مرکزی زندگی می کردند نيز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند. بعدها نظريات رياضی دانان هندی علاوه بر غرب، به رياضی دانان اسلامی و عربی نيز انتقال يافت. فيبوناچی، مهمترين رابط بين دستگاه اعداد هندی و عربی و رياضيات اروپا می باشد
با این ترفند ، قادر خواهید بود هر دو عددی ، از 11 تا 19 را بدون استفاده از ماشین حساب، بسرعت در ذهن خود ضرب کنید. ( البته با فرض اینکه جدول ضرب رو خوب بلد باشید ) در این جا به طور مثال 16 × 19 را آزمایش می کنیم. عملیات : عدد بزرگتر را با یکان عدد کوچکتر جمع کنید . ( یعنی 25 = 6 + 19 ) و در جلوی حاصلجمع صفری قرار دهید (250 ) . سپس یکان دو عد را در هم ضرب کنید و با عدد قبلی جمع کنید . ( یعنی 54 = 6 × 9 و 304 = 54 + 250 ) جواب ما 304 است . اگر این عمل را چند بار تکرار کنید به راحتی و در دو سه ثانیه می تونید ضرب های دورقمی زیر 20 رو حل کنید |
در شکل روبرو، سرد بودن، گرم بودن و داغ بودن، توابعي براي مقايسه درجه حرارت هستند و هر نقطه اي روي اين خطوط مي تواند داراي يکي از سه ارزش بالا باشد. به عنوان مثال براي يک درجه حرارت خاص که در شکل با يک خط نشان داده شده است، مي توان گفت: «مقداري سرد است»،«اندکي گرم است» يا «اصلاً داغ نيست». حال با مثال ديگري اهميت اين علم را بيشتر درک مينمائيم: يک انسان در نور کافي قادر به درک ميليونها رنگ ميباشد.ولي يک روبوت چگونه ميتواند اين تعداد رنگ را تشخيص دهد؟ حال اگر بخواهيم روباتي طراحي کنيم که قادر به تشخيص رنگها باشد از منطق فازي کمک ميگيريم و با اختصاص اعدادي به هر رنگ آن را براي روبوت طراحي شده تعريف ميکنيم